vissza a főoldalra

 2010.12.31. 

Egy könyvcím parafázisa
De Docta Ignorantia
Ismeretelmélet és matematika

Amikor A matematika Hamupipőkéje és az Arisztotelész és a nagy egyházszakadás c. írásaimat angolról magyarra fordítottam, többször hivatkoztam Nicolaus Cusanus De Docta Ignorantia c. művére, amelyet az ismeretelméletről eddig írt könyvek közt a legfontosabbnak tartok. Álmomban sem gondoltam volna, hogy könyvnek létezik magyar fordítása, mégpedig Erdő Péter bíboros, budapesti és esztergomi érsek tollából, A tudós tudatlanság címmel (Kairosz, 2000.)

A könyv címét én másként fordítottam, mégpedig: A tudományos tudatlanságról. A két fordítás között csak nüansznyi különbség van. Nem tudom, van-e még egy könyvcím, ami ilyen tömören fejezné ki a filozófia egy egész ágának, az ismeretelméletnek (episztemológiának) a mondanivalóját. Tudjuk, hogy a latin nyelvvel, annak tömörségét tekintve, más nyelvek aligha versenyezhetnek.

Úgy érzem, hogy az én címfordításom magyarázatra szorul. Nikolaus Cusanus alapgondolatát akarja visszaadni a modern olvasó számára, aki a matematika terminológiájával többé-kevésbé fel van vértezve. Ezt az alapgondolatot szeretném ebben az írásban kifejteni.

 Nicolaus Cusanus (1401-1464), németül: Nicholas von Kues, magyarosan: Kúzai Miklós német bíboros, teológus, a kánonjog tudósa, matematikus, asztronómus, polihisztor és filozófus, a középkor és a Reneszánsz egyik legeredetibb és legmélyebb gondolkodója, a kanyargó Moselle folyó balpartján fekvő Kues faluban, Bernkastel városkával átellenben (ma Bernkastel-Kues ikerváros, Cochem és Trier közt félúton) született német szülők: Johan Krebs hajózási vállalkozó és Kathrina Römer Krebs (négy közül) második gyermekeként. 15 éves korában, 1416-ban kezdi egyetemi tanulmányait Heidelbergben. Egy év múlva Padovába megy és ott doktorál kánonjogból 1423-ban, miután Európa legöregebb egyetemén a legújabb matematikai és asztronómiai tudományos eredményekkel is megismerkedik.

Egyházi tudóshoz képest rendkívül mozgalmas és érdekes élete volt. IV. Jenő pápa diplomatája, egyike annak a háromtagú delegációnak, amely 1437-ben ökumenikus küldetésben Konstantinápolyba hajózott, hogy a szakadárokkal tárgyaljon a keleti s a nyugati kereszténység egységének a helyreállításáról. A küldetés eredményes volt: a történelmi találkozó a pápa és a kelet-római császár között létrejött. A Ferrara-Firenzei zsinat keretében VI. (Palaeológus) János császár a konstantinápolyi pátriarka kíséretében leült IV. Jenő pápával, és 1439 június 6-án aláírták a két egyház újraegyesítéséről szóló történelmi dokumentumot. Úgy tűnt, hogy a közel 400 éves egyházszakadás, ami 1054-ben kezdődött – és amit Konstantinápoly 1204-évi megbocsáthatatlan kirablása csak elmélyített és elmérgesített – nem kis mértékben Kúzai Miklós diplomáciai tevékenységének köszönhetően 1439-ben végetért. (A kudarcba fulladt Negyedik Kereszteshadjárat katonái, akiket inkább martalócoknak, mint keresztesvitézeknek kell tekintenünk, miután 1203-ban a védtelen magyar Zárát kegyetlenül feldúlták és kifosztották, még a templomokat sem kímélve, e „hőstettük” után Konstantinápoly kirablására indultak, és ott a záraihoz hasonló pusztítást vittek végbe a következő évben, 1204-ben.)

Nem Kúzai Miklóson múlt, hogy a skizma megszüntetése írott malaszt maradt. A két egyház újraegyesítése sohasem valósult meg, részben az orthodox egyházközségek ellenállása miatt, de főleg azért nem, mert nem egészen másfél évtizeddel később, 1453-ban, Konstantinápoly elesett és meghódolt az ostromló ottomán török hadseregnek. A kelet-római birodalom pedig – több, mint ezer éves fennállás után – megszűnt létezni.

 *   *   *

 Tudomány azért vált lehetségessé a dolgok és jelenségek kaotikus birodalmában, mert Isten kegyelméből az ember rendelkezik valamivel, amivel az állatok nem: különbözö dolgokat és jelenségeket fel tud úgy is fogni, mintha azok azonos dolgok és jelenségek lennének. Megvan a képessége arra, hogy a konstans = relációt, az egyenlőséget, a változó ş relációval, az ekvivalenciával helyettesítse. Az egyenlőség nem más, mint az ekvivalenciának a két véglet közül az egyik szélsőséges speciális esete. Úgy hirdeti Isten dicsőségét, mint a végtelen világmindenség teremtőjét, amelyben minden egyedi létező önmagával azonosítható és azonosítandó. Ez a nézet, mint láttuk, nem alkalmas a világnak az emberi értelem által való megismerésére. A másik véglet még kevésbé alkalmas rá, amelyik minden létezőt egymással ekvivalensnek nyílvánít, azonosítva őket mint Isten teremtményét. Ez elmos a teremtmények közt minden lehetséges és elképzelhető különbséget.

A nagy ismeretelméleti áttörés akkor következett be, amikor a tudomány rájött. hogy e két véglet között végtelen sok más ekvivalencia is van, amelyeket lehet és kell is tanulmányozni az egyenlőség megszokott szabályainak felhasználásával. Ezek: reflexivitás: x = x; anti-szimmetria: x = y  Ţ  y = x; tranzitivitás:x = y & y = z Ţ x = z. E szabályok érvényesek az ekvivalenciára is: x ş x; x ş y  Ţ  y ş x;  x ş y  &  y ş z  Ţ  x ş z.

Mindez azt jelenti, hogy a tudomány belátja saját tehetetlenségét a végtelennel szemben, és úgy segít magán, hogy fellazítja a szigorú értelemben vett egyenlőség fogalmát. Ezzel nemcsak veszít, de nyer is. Veszít a szigorúan vett pontosságból, ami voltakép nem is igazi veszteség, hiszen szigorú pontossággal számunkra a valóság megközelíthetetlen, mint fentebb már elismertük. Nyer, mivel a végtelen dimenziót végesre redukálja, ahol már otthonosan mozog.

Úgy kell elképzelni az egyenlőség fellazítását, mint amikor a fix-fókuszú lencsét a fényképezőgépen kicseréljük egy változó-fókuszú „zoom” lencsére, amelynek minden adott távolsághoz van egy optimális fókusz-beállítása. Természetesen ezt az optimális beállítást meg is kell találni, de ha megtaláltuk, akkor a fényképezőgép eddig nem tapasztalt csodákat tud művelni, és eddig nem sejtett mély titkokba enged bepillantást.

   *   *   *

 Kúzai Miklós 1440-ben kiadott korszakalkotó könyve hangsúlyozza az emberi tudás alapvetően tökéletlen és hézagos voltát. Egyedül Isten képes a világegyetemet annak minden zugával és mozzanatával együtt felfogni és megérteni. Ha érvelését annak teológiai burkából kihámozzuk, akkor mondanivalóját úgy fogalmazhatjuk át, hogy az emberi ész számára két különböző dolog vagy jelenség sohasem lehet azonos (vagy azonos, vagy különböző — tertium non datur). Ebből kifolyólag a világ megismerése az ember számára reménytelen feladat. A végtelen világegyetem a véges emberi elme számára örökké megismerhetetlen kell, hogy maradjon. Minden mérés szükségkép pontatlan; minden kalkuláció irreleváns, ezért haszontalan. Az egyenlet illúzió: „a hallucináció visszhangja”.

De – mint erre már fentebb rámutattunk – Isten végtelen kegyelme révén az ember elnyerte a racionális gondolkodás és az okoskodás képességét. Ennek segítségével el tudja érni az isteni bölcsesség alapfokát, amennyiben különböző dolgokat és jelenségeket fel tud úgy is fogni, mintha azok azonos dolgok illetve jelenségek lennének. Ezzel az adottsággal a végtelent véges dimenzióra tudja redukálni. Fogalmakat teremt és azok között viszonyokat létesít. Tudja, hogy egy fogalom sohasem fed tökéletesen egy valóságos dolgot vagy jelenséget, de ez az eltérés szándékos és termékeny. Csakis ezáltal válik a mérés és a kalkuláció lehetségessé és értelmessé; csakis ezáltal formálhat jogot az egyenlet arra, hogy a megismerés legfontosabb módszere legyen.

 *   *   *

 A matematika segítségére siet az ismeretelméletnek és megalkotja a kvócienshalmaz fogalmát. Mielőtt azonban ezt a fogalomalkotást bemutatnám, megismétlem, hogy az csírájában már jelen van a De Docta Ignorantia címben is. Ez a csodálatos cím a latin nyelv utólérhetetlen tömörségével ugyanis sugallja a szándékosságot. Az ignorancia nem tekintendő átoknak többé, ami alatt senyved az emberiség, mivel tudományos módszerré tudtuk azt előléptetni. Ebben benne van Szókratész egész filozófiája is: „én magam semmit sem tudok, csak — másokkal ellentétben — én nem hiszem magamról, hogy tudom azt, amit nem tudok”. A tudás nélkülözhetetlen eleme a nem-tudás, tehát az a képességünk, hogy bizonyos különbözőségeket szándékosan „ignoráljunk” a jobb megérthetőség érdekében. A tudatos ignorancia a katalizátor, amin a tudás gyöngyszemei kicsapódnak.

A kvócienshalmaz fogalma modern megfogalmazásában alig háromnegyed évszázadra tekint vissza, és ez alatt a rövid idő alatt nem is tudott igazán gyökeret verni. Feltehető, hogy a matematikusok többsége soha hírét sem hallotta. Akik hallották, szinte kivétel nélkül mind félreértették.

A kvócienshalmaz modern fogalmát Nicolas Bourbaki vezette be 1937-ben. Bourbaki kollektív írói álnév; az elmúlt 75 év matematikatörténetére visszavonhatatlanul rányomta a bélyegét. 1934 végén a párizsi École Normal Supérieure fiatal matematikusainak egy csoportja elhatározta, hogy összeállítja a matematikai analízis egy javított tankönyvét. Hamarosan kiderült, hogy szükség van a terv kibővítésére, és a tankönyvírást kiterjesztették a matematika egészére.

Ezt a tervet nem sikerült megvalósítani. A matematika fontos tradicionális fejezetei, többek között a logika, a számelmélet, a kombinatorika; a modern fejezetek között pedig a kategóriák és a funktorok elmélete, kimaradtak Bourbaki Éléments de Mathématique című monográfia sorozatából, melynek kilenc kötete látott napvilágot 2009-ig. Az első kötet 1937-ben jelent meg először; ez tárgyalja a kvócienshalmazok elméletét. A kötetek listája:I. Halmazelmélet, II. Algebra, III. Topológia, IV. Egyváltozós valós függvények, V. Topológiai vektorterek, VI. Integrálás, VII. Kommutatív algebra, VIII. Lie csoportok, IX. Spektrálelmélet.

Az írói álnév azt a célt szolgálta volna, hogy a szerzők kilétét titokban tartsák, ami persze nem sikerült. Az álnév maga három gyökérből táplálkozik. Charles Denis Bourbaki francia tábornok volt, aki a krimi és a francia-porosz háborúban teljesített szolgálatot — ez a gyökér jelenti a gloire de la France ideálját. A tábornok görög származású volt — ez a gyökér vezet vissza az ókori görög matematikához és Euklídészhez. A Nicolas keresztnév természetesen Kúzai Miklósnak akar emléket állítani, akinek a De Docta Ignorantia című korszakalkotó de feledésbe merült művéből Bourbaki megmentette a kvócienshalmaz fogalmát. Ez Bourbaki halhatatlan érdeme.

Elfogadhatjuk tehát, hogy a kvócienshalmaz fogalma Kúzai Miklós művében, sőt annak a címében is, legalábbis csírájában már megvolt. De Docta Ignorantia: hogyan lesz a tudatlanságból tudomány. Vagy akár: ignorancia, mint a tudomány építőköve.

 *   *   *

 A kvócienshalmaz egy teljes osztályozás, tehát egy ekvivalencia reláció következményekép jön létre. Például a tárgyak halmazát szín szerint osztályozva megkapjuk a színek halmazát. Itt az ekvivalencia reláció ş szerepét az „egyszínűség”, a kvócienshalmaz szerepét pedig a színek halmaza játszsza. De lehet a tárgyak halmazát szaguk, ízük, csengésük, alakjuk szerint is osztályozni. Az itt fellépő ekvivalencia relációk, tehát az „egyszagúság”, „egyízűség”, „egyhangzatúság”, „egyalakúság” elvezetnek a dolgok halmazának különböző kvócienshalmazaihoz: a szagok, az ízek, a hangok, és a téridomok halmazához. Az anyag halmazállapot szerinti osztályozása megadja a fontos háromelemű kvócienshalmazt melynek elemei a szilárd, a cseppfolyós és a légnemű halmazállapotok.

Vagy vegyük a világ népességének a halmazát, amit lehet nem, faj, vallás, anyanyelv, stb. szerint osztályozni, hogy megkapjuk az emberiség halmazának fontos kvócienshalmazait: a nemek kételemű halmazát, a fajok, a vallások, az élő nyelvek halmazát, stb. Láthatjuk, hogy a statisztika szerepe megfogalmazható úgy is, mint a legfontosabb kvócienshalmazok megszerkesztése és a közöttük lévő kapcsolatok feltárása.

A jelenségek halmazát legtöbbször az egyidejűség ekvivalencia relációja szerint szokták osztályozni, ami elvezet a jelenségek halmazának a háromelemű kvócienshalmazához, melynek elemei: múlt, jelen és jövő.

 *   *   *

 A számfogalom felépítése a kvócienshalmazok szerkesztésének kiemelkedő példája. A természetes-, az egész-, a racionális-, a valós- és a komplex számok  N Ě Z Ě Q Ě R Ě C  számrendszerei felsorolásunknak megfelelő hierarchikus viszonyban állnak egymással. A hierarchia közvetlenül következő magasabb szintjét a kvócienshalmazok segítségével lehet egységes módszer szerint bevezetni. Ez filozófiailag igen fontos, mert lehetővé teszi a számfogalom egységesítését, amire enélkül nincs lehetőség.

Eszerint egy szám nem más, mint alacsonyabbrendű számok valamely ekvivalencia osztálya, s a hozzátartozó számrendszer pedig ezek kvócienshalmaza. Ezt a kvócienshalmazt a közvetlenül alacsonyabb hierarchiájú számrendszer számaiból konstruálhatjuk meg. A számfogalom kibővítését az a körülmény indokolja, hogy az inverz műveletek elvégzése – az egyenes műveletekkel ellentétben – obstrukcióba ütközik. Más kifejezéssel élve: az inverz műveletet definiáló egyenlet nem minden esetben oldható meg az adott hierarchiájú számok rendszerében.

Az obstrukciót a matematikus úgy küszöböli ki, hogy tekinti a számok halmazának azokat a részhalmazait, amelyektől a megoldást várja. A gond most az, hogy ezek végtelen sok megoldást javasolnak. Hogy lényegileg egyértelmű megoldásokat kapjon, a matematikus ekvivalencia relációt vezet be, amely a különböző de összetartozó megoldásokat azonosítja. A kibővített számrendszer, amelyben az adott inverz művelet lényegileg egyértelmű módon már mindig elvégezhető, a megfelelő kvócienshalmaz lesz.

 *   *   *

 Az euklídészi síkgeometriában az egyeneseket párhuzamosság szerint osztályozzuk. A párhuzamosság tehát szintén ekvivalencia reláció – a matematikatörténet egyik legfontosabb relációja. A síkbeli egyenesek egy párhuzamos osztályát a sík egy végtelen távoli pontjának, az osztályozásból származó kvócienshalmazt pedig a sík végtelen távoli egyenesének szokták hívni. De beszélhetünk a tér végtelen távoli síkjáról is. Ezt is úgy definiáljuk, mint a tér egyeneseinek párhuzamosság szerinti osztályozásából származó kvócienshalmazát. A tér végtelen távoli egyeneseit pedig úgy nyerjük, hogy a tér síkjaiból készített halmaznak vesszük a párhuzamosság szerinti osztályozását és a hozzátartozó kvócienshalmazt.

Ekkor egy igen érdekes tapasztalatra teszünk szert. Nemcsak az igaz, hogy a tér két végtelen távoli pontja egyértelműen meghatározza a tér egy végtelen távoli egyenesét, hanem az is, hogy a tér két végtelen távoli egyenese mindig metszi egymást a tér egy végtelen távoli pontjában. Ez azt jelenti, hogy az Euklídészi tér végtelen távoli síkja már nem Euklídészi sík! A tér végtelen távoli síkjában nincs párhuzamosság. A végtelen távoli térelemek megkonstruálása kimeríti új elemeknek a párhuzamosság révén történő bevezetését: a módszer másodszor már nem alkalmazható.

Valójában az euklídészi tér végtelen távoli síkja prototípusa a projektív síknak. Egyszerűbb is és szimmetrikusabb is, mint az Euklídészi sík. A projektív síknak tehát ez a második lehetséges származtatása. Az első az Euklídészi síknak a végtelen távoli elemekkel való fentebb tárgyalt kibővítése, ami megmutatja, hogy a projektív síknak már a topológiai szerkezete is különbözik az Euklídészi sík topológiai szerkezetétől. A topológus ezt úgy fejezi ki, hogy a „nem-kompakt Euklídészi síkot lezárta, azaz kompakttá tette, egy egyenes, a sík végtelen távoli egyenesének a hozzáadásával.” A projektív síkot tehát úgy is származtathatjuk, hogy a végtelen távoli elemek kitüntetettségét megszüntetjük.

Így született a projektív ábrázolás, a Reneszánsz művészetének büszkesége. A végtelen távoli térelemek fogalmát Johannes Kepler (1571-1630) német asztronómus kodifikálta először, habár azokat intuitíve Albrecht Dürer (1471-1528) német grafikus és festő már száz évvel korábban alkalmazta.

 *   *   *

 Láttuk, hogy egy adott halmaznak több kvócienshalmaza is van. Ezek a „finomítás” relációja szerint rendezhetők. Adva egy X halmaz két kvócienshalmaza A és B, azt mondjuk, hogy A-t „finomítja” B vagy, ami ugyanaz, A „durvítása” B-nek, jelben: A Ě B, ha B minden ekvivalencia osztálya részhalmaza A valamelyik ekvivalencia osztályának. Példaként említjük, hogy az Euklídészi sík háromszögeinek a halmazában a hasonlóság és az egybevágóság ekvivalencia relációk. A megfelelő kvócienshalmazokat úgy is hívhatjuk, mint a háromszög alakjainak és méreteinek a halmaza. A há-romszög alakjainak a halmaza durvítása a háromszög méretei halmazának.

 Két kvócienshalmaz nem mindig hasonlítható össze egymással a finomítás szempontjából: lehetséges, hogy A Í B & B Í A. Másrészről A, B rendelkezik egy legkisebb felső korláttal, amit ezek szuperimpozíciójának hívunk, és A Č B szinközös -vel jelölünk, és rendelkezik egy legnagyobb közös alsó korláttal is, amit ezek amalgámjának hívunk és A Ç B -vel jelölünk. Č és Ç úgy is tekinthetők, mint műveletek az X kvócienshalmazainak a halmazán. Nyílván e műveletek eleget tesznek a kommutativitás és az asszociativitás törvényeinek. Az olyan halmazokat, amelyek rendelkeznek egy Í relációval melyre nézve létezik a legkisebb közös felső korlát Č és a legnagyobb közös alsó korlát Ç, háló-nak hívjuk. Ezzel a terminológiával élve tehát azt mondhatjuk, hogy az X halmaz kvóciens-halmazai hálót képeznek. A hálónak van legkisebb és legnagyobb eleme: 1 az egyelemű, X pedig az univerzális kvócienshalmaz.

Mindez teljesen analóg az X részhalmazaival, amelyek a tartalmazásra, Í-re mint rendezésre nézve hálót képeznek, mivel két részhalmaznak, A-nak és B-nek van legkisebb közös felső korlátjuk és  legnagyobb közös alsó korlátjuk: A Č B ami úgy is ismert, mint A és B egyesítése, és A Ç B ami úgy is ismert, mint A és B metszete. Ennek a hálónak is van legkisebb eleme Ć, az üres halmaz; s legnagyobb eleme X, az univerzális részhalmaz.

A halmazelmélet (azaz a részhalmazok elmélete) és a kvócienshalmazok elmélete között „gyenge dualitás” áll fenn. A dualitás azt jelenti, hogy az egyik elmélet minden fogalmának megfelel a másik elmélet egy fogalma, és az előbbi minden tételének megfelel az utóbbi egy tétele (duáltétel). A duáltétel nem szorul külön bizonyításra, mert az eredeti tétel és annak bizonyítása pontról-pontra dualizálható. Dualizálni annyit tesz, mint minden fogalmat duálisával helyettesíteni. Az eredeti tétel érvényességéből következik a duáltétel érvényessége is. (Van „erős” dualitás is. Ilyen a projektív sík dualitása, amely a pontok és az egyenesek halmazai közt létesít duális viszonyt.)

A fordított dualitás a részhalmazok és a kvócienshalmazok halmazai között már nem áll fenn. Ez magyarázza a „gyenge” kvalifikációt. Ez pontosabban azt jelenti, hogy a halmazelméleti tételek duáltételei a kvócienshalmazok elméletében már nem szükségkép érvényesek. Erre példa a két disztributivitás és az egyértelmű komplementa-ritás törvénye, melyek érvényesek a halmazelméletben, de érvényüket vesztik a kvócienshalmazok elméletében. A kvócienshalmazok hálójában a komplementum már nincs egyértelműen meghatározva: valamely kvócienshalmaznak több különböző komplementuma is lehet. Megjegyzendő azonban, hogy ha a kvóciens-halmaznak meg van adva valamely egyelemű reprezentációja, tehát ha az ekvivalencia osztályok mindegyikéből ki tudtunk választani egy-egy reprezentáns elemet, akkor ezek a reprezentánsok a komplementumot már egyértelműen fogják meghatározni. A „kiválasztási axióma” szerint az ekvivalencia osztályoknak mindig létezik egyelemű reprezentációja még akkor is, ha végtelen halmazról van szó, amelynek minden ekvivalencia osztály is végtelen halmaz.

A halmazelmélet jellegzetes antinómiái a matematika alapjainak a kvócienshalmazok segítségével való felépítésében már nem lépnek fel. Ez annak köszönhető, hogy a kvócienshalmazok egy halmaza mindig korlátos, tehát nem merülhet fel az „összes halmazok halmaza”, minden baj okozója.

Az episztemológia, magyar szóval: ismeretelmélet, a filozófiának azon ága, amely a tudás illetve a megismerés lényegével és korlátaival foglalkozik. Minden tudományágon belül felállít egy hierarchiát, melynek az a feladata, hogy az általánost a speciálistól megkülönböztesse. Ez a hierarchia szintén rendelkezik a kvócienshalmazoknak azzal a tulajdonságával, hogy finomítása mint rendezés lép fel. Az általános elmélet durvább, a speciális mindig finomabb. Ez a rendezés tehát azonos a kvócienshalmazok rendezésével. Ebből már az is következik, hogy az ismeretelmélet nem nélkülözheti a kvócienshalmazok fogalmát és módszereit.

Túl a szaktudományokon, az ismeretelmélet megtestesítője a kvócienshalmazoknak. Tartalommal tölti meg a kvócienshalmazoknak a hálóját. Kiszűri a dolgok és a jelenségek érdektelen kvócienshalmazait. Tudvalevőleg ezek vannak túlnyomó többségben. Részletesebben, az ismeretelmélet feladata megkeresni a dolgok és jelenségek „érdekes” és „hasznos” kvócienshalmazait. Ezek részhálói a kvócienshalmazok hálójának. Az ismeretelmélet kapcsolatot létesít ezek között a részhálók között, és a hálóelméleti műveletek segítségével a korábbi kvócienshalmazokból újakat konstruál.

Összefoglalva, két nagy ismeretelméleti módszer: a részhalmazok és a kvócienshalmazok módszere vetélkedik egymással. A kettőt összehasonlítva azt mondhatjuk, hogy a kvócienshalmazok módszere átfogóbb és teljesebb, mint a részhalmazok módszere. Ugyanakkor hatékonyabb is. Ennek oka abban rejlik, hogy a részhalmaz a dolgoknak és a jelenségeknek csupán egy-egy tulajdonságára szorítkozik, míg a kvócienshalmaz egy teljes osztályozás eredményeképpen jön létre. Nem korlátozódik az egyes tulajdonságoknak önmagukban vett tanulmányozására. Kiterjed az alternatív tulajdonságok vizsgálatára is: az egyes tulajdonságokat a többivel létesíthető összefüggésében tekinti. A részhalmazok módszere magán viseli az arisztotelészi episztemológia bélyegét, amely a fragmentációt részesíti előnyben Plátó unifikációs módszerével szemben.

Azzal, hogy a kvócienshalmazok elméletét a középpontba helyeztük miután onnét a halmazelméletet elmozdítottuk, eljutottunk az ismeretelméletetnek egy teljesen új és tökéletesebb felépítéséhez. Ezt a felépítést legjobban az egységes módszer jellemzi. Ebben a felépítésben az ismeretelmélet alapfeladata úgy is megfogalmazható, hogy konkrét tartalommal kell megtöltenie az absztrakt kvóciens-halmazokat. Ki kell szűrnie közülük azokat, amelyek érdektelenek. Meg kell találnia a dolgok és a jelenségek „érdekes” és „hasznos” kvócienshalmazait. Ezek azok, melyek az ismeretelmélet voltaképpeni tárgyát képezik; ezeket úgy kell tanulmányozni, mint a kvócienshalmazok hálójának részhálóit. A közöttük lévő kapcsolatok feltárása a megismerés útja.

Arra a kérdésre, hogy a dolgok és a jelenségek kvócienshalmazai között melyek a hasznosak és az érdekesek, s melyek nem, többféle válasz is lehetséges annak megfelelően, hogy az ismeretelméleti „halászok” nagyszemű vagy aprószemű hálóval dolgoznak. Néha „kis halak” jelentik a „nagy fogást”. Erre példa a fizikában a kvantummechanika és az elemi részecskék elmélete.

Az ismeretelméletnek ez az itt bevezetett újabb felfogása a plátonista episztemológia kiteljesedésének tekinthető, amelyet az arisztotelészi szakadár episztemológia megpróbál mindenáron elgáncsolni. Mint ismeretes, a nagy aposztata tanítvány Arisztotelész megtagadta mesterét Plátót, akinek a filozófiája a szellem és az anyag szükségszerű egységét tételezte fel. Arisztotelész követői, a szakadárok, a századok folyamán nagy sikereket értek el, melynek során kialakult a ma általánosan elfogadott világkép, ami az elmének a testtől, s a gondolatnak az anyagtól való gnosztikus elkülönítésével jár. Az eretnekség mai ellenzői, a plátonisták, erről mint a filozófia „sötét korszakáról” és a matematika „arisztotelészi rabszolgaságáról” beszélnek. Nem adták fel az egységes világnézetért folyó küzdelmet. Kúzai Miklós ökumenikus fáradozásai, sajnos, nem jártak sikerrel. Remélhetjük-e, hogy úttörő ismeretelméleti munkássága meghozza majd a kései sikert, aminek köszönhetően véget vethetünk annak a sokkal régebbi és sokkal mélyebb skizmának, ami Arisztotelész aposztáziájával kezdődött és különösen a matematika, általában pedig az összes tudományok fragmentációjával mindmáig folytatódik?

 Dr. Fekete Antal

Forrás, hivatkozások

 Nicolaus Cusanus: A tudós tudatlanság, Fordította: Erdő Péter, Kairosz kiadó, Budapest, 2000

 Wikipedia: Nicolas Bourbaki, http://north.edu, November 8, 2009

 Fekete Antal: Arisztotelész és a nagy egyházszakadás, Havi Magyar Fórum, XVIII.1, 2010. január

Fekete Antal: A matematika hamupipőkéje, Havi Magyar Fórum, XVIII.3, 2010. március